rolisz's site

Subiect Algebră

Domnul profesor Modoi Ciprian.

Parțial: Rândul I 1. a) Se consideră $ f:mathbb{R} rightarrow mathbb{R}, , f(x) = begin{cases} - x^2 & text{, } xleq 0 \ x + 1 & text{, } x > 0 end{cases} $ Să se studieze injectivitatea și surjectivitatea. b) Determinați $ g circ f $, cu f de mai sus, iar $ g:mathbb{R}rightarrow[0,infty ), , g(x) = x^2 $. c) Dați exemplu de funcție bijectivă $ f:mathbb{N}rightarrowmathbb{N}* $ și determinați inversa ei. 2. a) Determinați $ ordbegin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\ 3 & 1 & 2 & 4 end{pmatrix} $ în $ S_4 $. b) Arătați că relația $ (\mathbb{Z},\mathbb{Z},\equiv_7) $ dată de $ x\equiv_7 y \Leftrightarrow 7|(x-y) $ este o echivalență. c) Determinați mulțimea cât $ mathbb{Z} / equiv_7 $. 3. Considerăm mulțimea: $ R = { begin{pmatrix} a & b \ -5b & a end{pmatrix} | a,b in mathbb{Z} } $. a) Arătați că R este subinel în $ M_2(\mathbb{Z}) $. b) Găsiți un izomorfism de inele $ f:R rightarrow mathbb{Z}[i sqrt{5}] $. c) Este R domeniu de integritate? 4. În $ \mathbb{R} $-spațiul vectorial $ \mathbb{R}^4 $ considerăm $ S = { (x_1,x_2,x_3,x_4) | x_1-x_2+x_4= x_1+2x_2 + 3x_3-x_4=0 } $ și $ T = { (x_1,x_2,x_3,x_4) | x_1-x_3+x_4= - x_1+x_2 + x_3=0 } $ a) $ S \leq_\mathbb{R} \mathbb{R}^4 $ și $ T leq_mathbb{R} mathbb{R}^4 $. b) Este adevărat că $ S \bigoplus T = \mathbb{R}^4 $?

Rândul II 1. a) Se consideră $ f:mathbb{R} rightarrow mathbb{R}, , f(x) = begin{cases} - x^2 & text{, } xleq 0 \ - x + 1 & text{, } x > 0 end{cases} $ Să se studieze injectivitatea și surjectivitatea. b) Determinați $ g circ f $, cu f de mai sus, iar $ g:[0,infty ) rightarrow mathbb{R}, , g(x) = x-3 $. c) Dați exemplu de funcție bijectivă $ f:mathbb{R}rightarrowmathbb{R}^*+ $ și determinați inversa ei. 2. a) Dacă $ (G,\cdot) $ este grup a.î $ x^2 = 1 $ pentru orice $ x \in G $, atunci G este abelian. b) Arătați că relația $ (\mathbb{Z},\mathbb{Z},\equiv_9) $ dată de $ x\equiv_9 y \Leftrightarrow 9|(x-y) $ este o echivalență. c) Determinați mulțimea cât $ \mathbb{Z} / \equiv_9 $. 3. Considerăm mulțimea: $ R = { begin{pmatrix} a & b \ 3b & a end{pmatrix} | a,b in mathbb{Z} } $. a) Arătați că R este subinel în $ M_2(\mathbb{Z}) $. b) Găsiți un izomorfism de inele $ f:R rightarrow mathbb{Z}[sqrt{3}] $. c) Este R domeniu de integritate? 4. În $ \mathbb{R} $-spațiul vectorial $ \mathbb{R}^4 $ considerăm $ S = { (x_1,x_2,x_3,x_4) | x_1+x_2+x_3-x_4= 2x_2 + x_3+x_4=0 } $ și $ T = { (x_1,x_2,x_3,x_4) | -x_1+3x_2+x_4= x_1-2x_2 + x_3=0 } $ a) $ S \leq\mathbb{R} \mathbb{R}^4 $ și $ T leq_mathbb{R} mathbb{R}^4 $. b) Este adevărat că $ S \bigoplus T = \mathbb{R}^4 $?

[gview file="/static/images/2012/02/rezalg.pdf"]

Dacă mai vreți ceva, lăsați un comment. Poate o să îmi mai aduc aminte cum se face.

Subiecte:

Subiectele sunt din auzite:

1. a) Definiți noțiunile și dați câte un exemplu pentru fiecare: funcție injectivă, bază a unui spațiu vectorial, valoare proprie b) Enunțați teorema de corespondență relațiile de echivalență cu partițiile c) Demonstrați că un sistem de vectori $ (v_{1},v_{2},...,v_{n})^{t} $ este liniar dependent dacă și numai dacă cel puțin unul dintre ei se scrie ca și o combinație liniară a celorlalți.

2. a) Definiți nucleul unei aplicații liniare și arătați că este un subspațiu al domeniului acelei aplicații

b) Determinați inversa matricii: $ begin{pmatrix} 2 & 2 & 3\ 1 & -1 & 0 \ -1 & 2 & 1 end{pmatrix} $ cu transformări elementare.

3. Se dă $ f:mathbb{R}^{3}rightarrow mathbb{R}^{3}, f(x_{1},x_{2},x_{3}) = (x_{1}+2x_{2}-x_{3}, -x_{1}+x_{2}+2x_{3}, x_{1}+5x_{2}) $ a) Să se arate că $ f \in End_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^3) $ b) Să se determine $ rang(f) $ și $ def(f) $ și câte o bază în $ textup{Im} f $ și  $ ker f $ c) Să se arate că $ b=(b_{1},b_{2},b_{3})^t $ este o bază în $ \mathbb{R}^3 $ unde $ b_{1} = (1,2,1), b_{2}=(1,1,1), b_{3} = (1,1,0) $ și să se determine $ \left [ f \right ]{ee}, \left [ f \right ]{be} $.

Credits: Adriana și Cristi pentru subiecte.

Subiectul este din auzite:

1. a) Definiți noțiunile și dați câte un exemplu din fiecare: relație de echivalență, dimensiune a unui spațiu vectorial, nucleul unei aplicații lineare. b) Enunțați teorema rangului. c) Demonstrați că un sistem de vectori $ (v_{1}, v_{2}, ... v_{n} )^t $ este o bază a unui spațiu vectorial V dacă și numai dacă orice vector se scrie în mod unic ca o combinație liniară de $ v_{1}, v_{2}, ... , v{n} $.

2. a) Arătați că o aplicație liniară este injectivă dacă și numai dacă nucleul ei este nul. b) Discutați și rezolvați sistemul utilizând Gauss: $ begin{cases} 5x_{1} - 3 x_{2} + 2 x_{3} + 4 x_{4} = 3\ 4x_{1} - 2x_{2} + 3x_{3} + 7x_{4} = 1 \ 8x_{1} - 6x_{2} - x_{3} - 5x_{4} = 9 \ 7x_{1} - 3x_{2} + 7x_{3} + 17x_{4} = alpha end{cases} alpha in mathbb{R} $

3. Se dă $ f \in End_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^3) $ cu matricea în baza canonică $ left [ f right ]_e = begin{pmatrix} 3 & 2 & 2\ 1 & 4 & 1\ -2 & -4 & -1 end{pmatrix} $ Verificați dacă f este diagonalizabilă și dacă da, diagonalizați f (determinați baza și forma diagonală)

Credits: Paul și Cristi.

1. a) Definiți noțiunile și dați câte un exemplu din fiecare: funcție surjectivă, inel, dimensiune a unui spațiu vectorial. b) Enunțați proprietatea de universalitate a bazei unui spațiu vectorial. c) Demonstrați că o mulțime de vector $ { v_{1},v_{2},... v_{n} } $ formează o bază a unui spațiu vectorial V ddacă ei sunt liniar independenți și pentru orice $ x \in V $ vectorii $ v_{1},v_{2},... v_{n},x $ nu mai sunt liniar independenți. 2. a) Definiți suma a două subspații vectoriale și arătați că ea este subspațiul generat de reuniunea celor două subspații inițiale. b) Folosind lema substituției arătați că sistemul de vector $ (v_1,v_2,v_3)^t $, unde $ v_1 = (1,-1,-1), v_2=(2,-1,4), v_3=(-2,2,3) $ este o bază pentru $ \mathbb{R}^3 $, și determinați coordonatele vectorului $ x = (-5,1,1) $ relativ la această bază. 3. Se dă $ f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3 $. $ f(x_1,x_2,x_3) = (11x_1+12x_2-2x_3,-10x_1-11x_2+2x_3,-15x_1+18x_2+4x_3) $. Să se arate că $ f \in End(_\mathbb{R} \mathbb{R}^3) $, să se stabilească dacă f este diagonalizabil, iar dacă da, să se diagonalizeze f (baza și forma diagonală).

Well, well, se pare că blogul meu e citit și de cei cu un an mai mic ca mine (mai ales la Arhitectura Calculatoarelor :D). Și unii din ei mi-au și trimis un subiect la algebră.

1. (a) Definiți noțiunile și dați câte un exemplu din fiecare: funcție injectivă, relație de ordine, inel. (3p)

(b) Enunțați teorema care se referă la legătura dintre relații de echivalență și partiții. (2p)

(c) Demonstrați că un sistem de vectori $ (b_1,b_2,..., b_n)^t $ formează o bază a unui K-spațiu vectorial V ddacă orice vector $ x \in V $ se scrie în mod unic ca o combinație liniară a vectorilor $ b_1,b_2,..., b_n $. (4p)

2. (a) Dați un exemplu de element de ordin finit al unui grup. (2p)

(a) Fie V un K-spațiu vectorial, $ f \in End_k (V) $ și $ lambda in K $. Arătați că  $ V(lambda) = { x in V | f(x) = lambda x } $ este un subspațiu al lui V. (3p)

(b) Folosind metoda transformărilor elementare (Gauss), inversați matricea: $ begin{pmatrix} 1 & -2 & 4\ 1 & -1& 1\ -1 & -1 & 6 end{pmatrix} $ (4p)

3. Se da $ f:mathbb{R}^4 rightarrow mathbb{R}^3, f(x_1,x_2,x_3) = (2 x_1 -4x_2 +5 x_3 +3x_4, 3x_1-6x_2+4x_3+2x_4,4x_1-8x_2+17x_3+11x_4) $. (a) Arătați că $ f in Hom_{mathbb{R}}(mathbb{R}^4,mathbb{R}^3). $ (1p) (b) Determinați câte o bază și dimensiunea subspațiilor Ker f și Im f. (4p) (c) Arătați că $ b = (b_1,b_2,b_3,b_4)^t $ și $ b' = (b_1',b_2',b_3')^t $ unde $ b_1 = (1,2,1,0),b_2=(2,5,3,1),b_3=(1,3,3,-1),b_4=(-1,-3,-4,4) $ și $ b_1' = (1,-1,-2),b_2'=(2,-3,1),b_3'=(-1,2,-2) $ sunt baze pentru $ \mathbb{R}^4 $, respectiv $ \mathbb{R}^3 $ și să se determine $ |f|_{b,b'} $.

Incredibil cât uită omul într-un an de zile...

Thanks Adrian!

Și am mai primit 2

1

2 Thanks Alexandru