rolisz's site

Subiect PS

Cu doamna profesor Lisei Hannelore.

  1. Fie

$$ g(y) = \begin{cases} \frac{1}{a}y e^{-\frac{y^2}{2}}, y > 0 \ 0, y \leq 0 \end{cases} $$

(i) (0.5p) Determinați $ a\in \mathbb{R} $ astfel încât g să fie densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare Y.

(ii) (0.5p) Determinați funcția de repartiție a lui Y.

(iii) (0.5p) Calculați $ P(-2 \leq Y \leq 1) $ și $ P( Y \geq 2) $.

(iv) (0.5p) Calculați valoarea medie a lui Y.

  1. Caracteristica X urmează cu parametrul necunoscut $ theta > 0 $.

$ P(X=k) = \frac{\theta^k}{k!}e^{-\theta} &s=1 $ pentru $ k \in {0,1,2,3,...} $.

(a) (1.5p) Să se estimeze parametrul $ \theta $, folosind metoda verosimilității maxime.

(b) (1p) Este aceste estimator absolut corect?

(c) (1.5p) Este acest estimator eficient?

Justificați toate răspunsurile.

Din câte am auzit au fost cel puțin două subiecte.

Thanks Jozsef!

  1. (i) Pentru ca g să fie o funcție de densitate trebuie ca

$$ int_{-infty}^{infty} g(y) dy = 1 Leftrightarrow int_{0}^{infty} frac{1}{a} y e^{-y^2/2} dy = 1 Leftrightarrow frac{1}{a} int_{0}^{infty} (-e^{-y^2/2})' dy = 1 Leftrightarrow tfrac{1}{a} (-e^{-y^2/2})Big|_{0}^{infty} = 1 Leftrightarrow - 0 + tfrac{1}{a} 1 = 1 Rightarrow a = 1 $$

(ii) Funcția de repartiție este

$$ F_Y (y) = int_{-infty}^{y} g(t) dt $. Pe cazuri avem $ F_Y (y) = begin{cases} 0, y leq 0 \ int_0^y y e^{-y^2/2} dy, y > 0 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} 0, y leq 0 \ 1 - e^{-y^2/2}, y > 0 end{cases} $$

(iii) $ P(-2 \< Y \leq 1) = \int_{-2}^1 y e^{-y^2/2} dy = 1 - e^{-\tfrac{1}{2}} $

$$ P(Y \geq 2) = \int_{2}^{\infty} y e^{-y^2/2} dy = e^{-2} $$

(iv) $ E(Y) = int_{-infty}^{infty} y g(y) dy = int_{0}^{infty} y^2 e^{-frac{y^2}{2}} = int_{0}^{infty} y (-e^{-y^2/2})' dy = y (-e^{-y^2/2}) Big|_{0}^{infty} + int_0^{infty} e^{-frac{y^2}{2}} dy = sqrt{frac{pi}{2}} $

  1. (i) La $ P(X=k) = frac{theta^k}{k!}e^{-theta} = f(k,theta) &s=1 $ îi corespunde $ f(x; \theta) = \frac{\theta^x}{x!} e^{-\theta} $

Funcția de verosimilitudine: $ L(X_1,..., X_n;theta) = prod_{i=1}^{n} f(x_i; theta) = prod_{i=1}^{n} frac{theta^{x_i}}{x_i!} e^{-theta} $.

Logaritmăm $ \ln L = \sum_{i=1}^{n} (x_i \ln \theta - \ln (x_i !) - \theta $

Calculăm prima derivată în raport cu theta și egalăm cu 0 pentru a afla maximul: $ frac{partial ln L }{partial theta} = sum_{i=1}^{n} (frac{x_i}{theta} - 1) = -n + sum_{i=1}^{n} frac{x_i}{theta} = 0 Rightarrow theta = frac{sum_{i=1}^{n} {x_i}}{n} $

Verificăm că a doua derivată e negativă: $ frac{partial^2 ln L }{partial theta^2} = - sum_{i=1}^{n} frac{x_i}{theta^2} leq 0 $, pentru că $ x_i \geq 0 $ (se dă).

$ \widehat{\theta} = \frac{\sum_{i=1}^{n} {x_i}}{n} $ este estimator de verosimilitudine maximă pentru parametrul theta.

(ii) $ E(X) = sum_{k=1}^{infty} k frac{theta^k}{k!} e^{-theta} = theta sum_{k=1}^{infty} frac{theta^{k-1}}{(k-1)!} e^{-theta} overset{renumerotam}{=} theta sum_{k=0}^{infty} frac{theta^{k}}{k!} e^{-theta} = theta $ (ultima sumă este chiar însumarea tutoror probabilităților, care trebuie să dea 1).

$ E(widehat{theta}) = E(tfrac{1}{n} (X_1 + ... + X_n)) = tfrac{1}{n}(E(X_1) + ... + E(X_n)) = frac{n E(X)}{n} = theta Rightarrow $ e absolut corect.

(iii) Eficiența este $ e(widehat{theta} = frac{1}{I_n(theta)V(widehat{theta})} $.

$ V(widehat{theta}) = V(frac{sum{i=1}{n} X_i}{n}) = tfrac{1}{n^2} sum_{i=1}^{n} V( X_i ) = frac{n theta}{n^2} = frac{theta}{n} $ (varianța distribuției Poisson am presupus-o cunoscută :-" )

Cum $ \exists \frac{\partial^2 \ln L }{\partial \theta^2} $ și domeniul variabilelor lui X nu depinde de theta, $ I_n(theta) = n I_1 (theta) = - n E( frac{partial^2 ln L(X_1; theta)}{partial theta^2}) = -n E(-frac{X_1}{theta^2}) = frac{n}{theta^2} E(X) = frac{n}{theta} $

Eficiența este $ e(widehat{theta}) = frac{1}{frac{n}{theta} frac{theta}{n}} = 1 Rightarrow $ este estimator eficient.

P.S A se lua cu o țâr de sare. Sigur îs greșeli, fie de calcul, fie de LaTeX, or, worst case scenario, de gândire. Vă rog să îmi ziceți orice greșeli în commenturi.

  1. Fie x o varibilă aleatoare continuă, având densitatea de probabilitate:

$ f(x)=begin{cases} c x e^{-x}, x>0 \ 0, x leq 0 end{cases} $ și $ Y=2X+3 $

(i) Det. constanta c

Integrala de la -infinit la infinit a densității de probabilitate treubie să fie 1: $ int_{-infty}^{infty} f(x)dx = 1 Leftrightarrow int_0^{infty} c x e^{-x} dx = 1 Leftrightarrow - e^{-x} Big|_0^{infty} = 1 Rightarrow c = 1 $

(ii) Det. functia de rep. a lui X

$ F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f(x) dx = \int_{0}^{x} t e^(-t) dt = 1 - e^{-x} (x+1) $

(iii) Det. functia de rep. a lui Y

$ F_Y(y) = P(Y < y) = p(2x+3 < y)=P(X < \frac{y-3}{2})=\int_0^{(y-3)/2} f_x(x) dx="1" + e^{-(y-3) 2} (y 2 -5 2) $

(iv) Det. densitatea de prob. a lui Y

Derivezi ce îi mai sus.

  1. Daca X este o varibilă aleatoare oarecare și Y are aceeași repartiție ca X, atunci rezultă ca varibila aleatoare X+Y si 2X au aceeasi repartiție?

X+Y nu are aceași distribuție. Exemplu: $ X = begin{pmatrix} 1 & 2 &3 \ 1/3 & 1/3 & 1/3 end{pmatrix}, Y = begin{pmatrix} 1 & 2 &3 \ 1/3 & 1/3 & 1/3 end{pmatrix}, X + Y = X = begin{pmatrix} 2 &3 &4&5 &6\ 1/9&2/9&.&.&.& end{pmatrix} $, deci nu are aceași distribuție.

2X are aceași distribuție (îs în curs formule de calcul pentru $ alpha X +beta $

  1. Caracteristica X are densitatea: $ f(x)= begin{cases} 3 a x e^{3a-1}, 0 0, text{altfel} end{cases} $ unde a > 0 este parametru necunoscut. Sa se estimeze parametrul necunoscut a, folosind metoda momentelor.

Un pic mi neclar aici, pentru că parametrul a ar trebui să iasă și doar din condiția ca funcția respectivă să fie densitate de probabilitate :-??

P.S: A se lua și acest post cu o țâr de sare și verificați și voi calculele și eventualele greșeli lăsațile în commenturi.

  1. (1p) Un student merge nepregătit la un test de tip grilă. Testul are trei întrebări, fiecare cu un singur răspuns corect. Prima întrebare are 3 variante de răspuns, a doua 5 variante de răspuns, iar a treia 4 variante de răspuns. Studentul alege pentru fiecare întrebare un răspuns aleator.

(i) Care este probabilitatea ca studentul să răspundă corect la cel puțin o întrebare?

(ii) Care este probabilitatea ca studentul să răspundă corect la cel mult două întrebări?

  1. (3p) Fie X și Y variabile aleatoare independente, ce urmează legea exponențială:

$ f_x(x) = begin{cases} 2e^{-2x}, text{ daca } x > 0 \ 0, altfel end{cases} $

$ f_y(y) = begin{cases} 2e^{-2y}, text{ daca } y > 0 \ 0, altfel end{cases} $

Notăm $ U = min{X,Y} $ și $ V = max{X,Y} $.

(i) Calculați valorile medii ale lui X, U, V și $ U \cdot V $.

(ii) Sunt U și V variabile aleatoare independente?

  1. (2p) Fie $ X_1,..., X_n $ variabile de selecție pentru caracteristica X, care are densitatea

$$ f(x) = begin{cases} frac{3x^2}{2theta^3}, text{ daca } x in [-theta,theta],\ 0, altfel end{cases} $$

unde $ \theta > 0 $ este parametru necunoscut. Fie estimatorii

$ \widehat{\theta}_n = \tfrac{1}{n}(X_1 + ... + X_n) $,

$ \widehat{T}_n = \tfrac{5}{2n}(X_1^2 + ... + X_n^2), n\geq 1 $,

(i) Este $ \widehat{\theta}_n $ estimator absolut corect pentru $ \theta $?

(ii) Este $ \widehat{T}_n $ estimator absolut corect pentru $ \theta^2 $!

Justificați toate răspunsurile.

Și cu asta gata sesiunea. Merg să dorm.