rolisz's site

Subiecte Sisteme Dinamice

Lucrare laborator: Mai ușor decât mă așteptam. Și îs curios ce le-o dat la cei din 211 ;;)

Exercițiul 1 (3p): Se consideră modelul lui Verhulst de creștere a unei populații:

$

begin{cases} x'(t) = r_0 cdot x(t) (1-frac{x(t)}{K})\ x(0) = x_0 end{cases}

$

(a) Determinați soluția generală a ecuației diferențiale

(b) Determinați soluția problemei Cauchy în cazul $ r_0 = 3, K= 100, si, x_0 = 6 $ și reprezentați graficul soluției obținute.

(c) Determinați rata de creștere $ r_0 $ și constanta de raport a mediului $ K $ știind că mărimea populației la momentul inițial este $ x_0=100 $, după 10 ani mărimea populație este $ x_1 = 250 $, iar după încă 10 ani este $ x_2=400 $.

Exercițiul 2 (2p) Se consideră ecuația diferențială:

$$ x^2 y'' + 2 x y' -2y =0 $$

(a) Determinați soluția generală a ecuației diferențiale

(b) Determinați soluția ecuației ce satisface $ y(1) = 2, y'(1)=-1 $.

Exercițiul 3 (3p) Se consideră ecuația diferențială autonomă:

$$ x' = 3x-x^2 $$

(a) Determinați punctele de echilibru ale ecuației și precizați stabilitatea acestora.

(b) Reprezentați în același grafic soluțiile ce satisfac condițiile $ x(0) =-2, x(0)=-1, x(0) = 0, x(0)=1, x(0)=2, x(0)=3,x(0)=4 $ pe intervalul $ [-3,3] $.

Exercițiul 4 (2p) Se consideră sistemul de ecuații diferențiale autonome:

$

begin{cases} x' =-x + y^2\ y' = -8y+x^2 end{cases}

$

(a) Determinați punctele de echilibru ale sistemului

(b) Determinați stabilitatea și tipul punctelor de echilibru.

(c) Reprezentați portretul fazic al sistemului.

Îs curios la examen ce ne-a da :-S

Seminar:

Bucată de tort.

Cerința la toate exercițiile îi să se determine soluția generală a ecuției/ecuațiilor/problemei Cauchy/bilocale

Rândul 1:

  1. $ y y' = x + 1 $

2. $ begin{cases} x y ' + 2 y = 4 x^2 \ y(0) = 2 end{cases} $ 3. $ x y'' - y' = 1 $ 4. $ begin{cases} y'' + y' -2 y = e^{-x} \ y(0) = 2 \ y'(0)=0 end{cases} $ 5. $ begin{cases} y_1' = -2 y_1 -4 y_2 \ y_2'= - y_1 + y_2 end{cases} $

Rândul 2:

  1. $ y y' + x =0 $

2. $ begin{cases} y' -2 y = x \ y(1) = 1 end{cases} $ 3. $ y'' - \frac{2}{x} y' = -\frac{2}{x} $ 4. $ begin{cases} y'' - 4 y = 5 e^{-x} \ y(0) = 1 \ y(1/2)=0 end{cases} $ 5. $ begin{cases} y_1' = 4 y_1 + y_2 \ y_2'= 3 y_1 + 2 y_2 end{cases} $

Rezolvări nu pun, că WolframAlpha is your best buddy la toate.

Exercițiul 1 Se consideră modelul logistic (Verhulst) de creștere a unei populații: $ begin{cases} x'(t)=r_0 cdot x cdot (1 - frac{x}{K}) \ x(0)=x_0 end{cases} $ Se cere: (a) (0.5p) Care este semnificația parametrilor $ r_0 $ și $ K $? (b) (0.5p) Determinați soluția modelului; (c) (0.5p) Determinați soluțiile echilibru și stabilitatea acestora.

Exercițiul 2 (0.5p) Definiți noțiunea de punct de echilibru asimptotic stabil pentru o ecuuație diferențială autonomă de ordinul 1.

Exercițiul 3 Determinați soluțiile generale pentru ecuațiile: (a) (0.5p) $ y' \cdot \cos(x) -2 y \cdot \sin(x) =1 $ (b) (1p) $ y'' - 4y' +8y = 8x-4 $

Exercițiul 4 (1p) Determinați soluția problemei bilocale:

$$ begin{cases} (1+x^3) cdot y'' = 3x^2 cdot y' = 0 \ y(0)=0 \ y(2)=6

end{cases} $$

Exercițiul 5 (1p) Se consideră problema Cauchy $ begin{cases} y'=x+2y \ y(0)=1 end{cases}$. Scrieți formula lui Euler de calcul a valorilor soluției aproximante pentru o rețea de noduri echidistante. Pentru pasul $ h = 0.1 $ calculați primele trei valori aproximative ale soluției pe intervalul $ [0; 1] $.

Exercițiul 6 Se consideră sistemul

$$ begin{cases} x'(t) = x-xy^2 \ y'(t) = x-y end{cases} $$

Se cere: (a) (0.5p) Să se determine punctele de echilibru (b)(1p) Să se studieze stabilitatea acestora.

Timpul de lucru a fost două ore. Au fost multe subiecte diferite.

Mersi Józsi!

Subiect.

a) $ r_0 $ este rata de creștere, iar K este populația maximă.

b) $ x = \frac{K \cdot x_0 \cdot e^{rt}}{K+x_0(e^{rt}-1)} $

c) Soluțiile de echilibru se găsesc prin rezolvarea ecuației $ f(x) = 0 $ și sunt $ x_1 =0, x_2=K $. Prima este soluție de echilibru instabil, a doua este echilibru asimptotic stabil.

  1. Teorie

  2. a) $ y(x) = \frac{c_1}{\cos^2(x)} + \frac{\tan(x)}{\cos(x)} $ b) $ y(x) = c_1 e^{2x}sin(2x)+c_2 e^{2x} cos(2x)+x $

  3. Soluția generală: $ y(x) = \frac{c_1 x^4} {4} + c_1 x + c_2 $. Soluția problemei bilocale: $ y(x) = \frac{x^4} {4} + x $.

  4. Formula lui Euler: $ y_{n+1} = y_n + (x_n + 2y_n) cdot 0.1; x_n = 0.1 n $. Primele trei valori: $ y_1 = 1.21, y_2=1.472, y_3 = 1.796 $.

  5. Soluții: (-1,-1),(0,0),(1,1). Toate sunt stabile. Cred.

[gview file="/static/images/2012/06/sd.pdf"]